SISTEMA DIÉDRICO CON LÍNEA DE TIERRA Y SISTEMA LIBRE

En primer lugar vamos a la definición:

El sistema diédrico es un método de representación geométrica de los elementos del espacio tridimensional sobre un plano mediante la proyección cilíndrica ortogonal sobre dos planos de proyección ortogonales. 

Este sistema de planos se denomina diedro, de forma que uno de los planos se abate sobre el segundo permitiendo la representación de las proyecciones de los elementos en un único plano (Figura 1). 

En caso de fijar la posición de los planos de proyección, aparecerá una línea de corte de ambos planos denominada “línea de tierra”. En caso de mantener libre la posición de los planos de proyección, nos referiremos al sistema diédrico directo, sistema libre, o sistema sin línea de tierra.

Figura 1 

En el sistema diédrico con línea de tierra emplearemos fundamentalmente los abatimientos mientras que en el sistema libre aplicaremos los teoremas ya conocidos de Thales (para conocer la forma) y Pitágoras (para conocer la medida) (Figura 2).

Figura 2

A partir de esta configuración podemos aplicar la relación entre los puntos como una relación de Thales (Figura 3)

Figura 3

Para ver las diferencias entre el uso o no de la línea de tierra observamos el ejemplo de la figura 4. Partiendo de las proyecciones ortogonales, el caso tradicional (figura de la izquierda) es el uso de la línea de tierra, la cual aparece como la intersección de los planos de proyección (horizontal y vertical). En el ejemplo se representan dos puntos situados en la misma proyección respecto al plano horizontal (H), donde la situación relativa entre ambos puntos se establece por la distancia vertical que mantienen (Dz). 

En la figura de la derecha corresponde al concepto del sistema libre, donde se observa que el desplazamiento del plano de proyección horizontal (H1) mantiene la misma distancia relativa entre los puntos (Dz).

Por tanto, en el sistema directo, lo importante no es la situación de los elementos respecto a la intersección de los planos de proyección horizontal y vertical, sino la situación relativa de los elementos entre sí.

Figura 4

A partir de aquí se desarrolla todo el sistema partiendo del elemento básico del punto. En el caso de una recta, la proyectaremos como la unión de dos puntos, mientras que para un plano se usarán tres puntos. 

En la figura 5 se representa una recta (r). En la figura de la izquierda está dibujada con la línea de tierra, a partir de la cual se consideran las coordenadas y, z de las proyecciones de los puntos A, B. En la figura de la derecha se representa esa misma recta en el sistema libre sin el uso de la línea de tierra, a partir de las coordenadas relativas entre los dos puntos. Estas coordenadas se mantendrán constantes independientemente de la posición de la línea de tierra.

Figura 5

Para conocer la verdadera magnitud (VM) de la recta r entre los puntos AB, en caso de usar la línea de tierra se realiza un abatimiento de un plano de perfil (P) que contenga la recta (r). En la figura 6 aparece representada la operación para la recta ejemplo

Figura 6

En el caso del diédrico directo tenemos que analizar el problema desde el punto de vista de las coordenadas relativas de los puntos. En la figura 7 se representa la recta ejemplo. Se puede observar la construcción de un triángulo rectángulo, donde la hipotenusa es la recta en verdadera magnitud (VM), el cateto mayor es la proyección de la recta sobre el plano horizontal (r’) y el cateto menor es la diferencia relativa de la coordenada Z de los dos puntos A,B (Dz). A partir de esta construcción y usando el principio de Pitágoras, se puede calcular la verdadera magnitud en el sistema directo, construyendo la hipotenusa a través de los datos conocidos de los catetos. En la Figura 8 se ha dibujado la solución.

Figura 7

Figura 8

Una vez que hemos visto su definición vamos a analizar los siguientes conceptos fundamentales

Línea de máxima pendiente de un plano:

Se define como la recta que pertenece al plano (P) y que forma el mayor ángulo con el plano horizontal (H). Por tanto, corresponderá a una recta cuya proyección horizontal será perpendicular a la traza horizontal del plano que la contiene, así como de cualquier otra recta horizontal del plano (Figura 9)

Figura 9

Por tanto, para calcular la línea de máxima pendiente de un plano tanto con línea de tierra como en el sistema libre, tendremos que realizar la intersección de dicho plano con un plano horizontal, para posteriormente trazar la recta perpendicular a la proyección horizontal de la recta intersección de ambos planos (Figura 10)

Figura 10

Abatimientos:

Para el análisis de los abatimientos vamos a desarrollar un caso genérico. Se basa en la construcción de un triángulo equilátero perteneciente al plano H, con uno de los lados paralelo a la proyección horizontal de dicho plano, de lado 10 cm y con baricentro en el punto P.

Su desarrollo mediante el uso de la línea de tierra (Figura 11) pasa por el abatimiento del plano H tomando su proyección horizontal (h’) como eje de giro. A partir del abatimiento del baricentro P, se construye el triángulo, el cual se traslada a las proyecciones horizontales y verticales mediante rectas contenidas en el plano. 

Figura 11

En el caso del sistema libre (Figura 12) para su construcción solo se necesita de la proyección horizontal del plano y de las coordenadas z relativas de cada punto. A partir de estos datos, trasladamos el punto (P) del baricentro a verdadera magnitud (Po). Construimos el triángulo, para posteriormente trasladar mediante afinidad los vértices a la proyección horizontal. Finalmente proyectamos su vista vertical mediante las coordenadas z de cada punto tomadas en la verdadera magnitud.

Figura 12