LA INVERSIÓN EN GEOMETRÍA MÉTRICA

Hola a todos!

Hoy quiero hablaros de un tipo de transformación muy interesante en el dibujo técnico basada en el concepto de potencia, y con muchas aplicaciones en la resolución de los problemas angulares de puntos, rectas y circunferencias: La inversión

En primer lugar ¿que es una inversión?. Podemos definirla como una transformación conforme en la que un punto (A) está alineado con su inverso (A') respecto a un centro de inversión (I), de forma que el producto de las distancias es una constante denominada potencia de inversión (K):

IA*IA'=K2




Por tanto, para calcular la inversa de un punto respecto a un centro de inversión basta con calcular la potencia respecto a una circunferencia de radio la raiz de la potencia. En circunferencia aparecen puntos dobles ( coincide un punto y su inversa) y es denominada "circunferencia de autoinversión"






En este ejemplo estamos tratando de Inversión positiva, donde el punto (A) se encuentra dentro de la circunferencia de inversión, el punto invertido (A') en el exterior, y los dos puntos están alineados en el mismo margen respecto al centro de inversión (I)

Una de las cualidades de los puntos de inversión es que son concíclicos, esto es, se encuentran dentro de una circunferencia (c). Esta circunferencia coincide con su inversa (c') y tiene la cualidad de ser ortogonal con la circunferencia de autoinversión.

Una vez que hemos visto una definición de inversión de punto paso a mostraros la inversión de rectas y circunferencias según la situación del centro de inversión (I)

CASO 1: INVERSIÓN DE UNA RECTA QUE CONTIENEN EL CENTRO DE INVERSIÓN

En este caso la inversión de la recta (r) es la propia recta (r=r'). En el caso de inversión positiva los puntos y sus inversos aparecen a lo largo de la recta, según la potencia de inversión (definida a través del radio de la circunferencia de inversión)

                                                                                                           








CASO 2: INVERSIÓN DE UNA RECTA QUE NO CONTIENEN EL CENTRO DE INVERSIÓN

En esta situación la inversa es una circunferencia (r') que SI contiene el centro de inversión (I pertenece a c) cuyo centro se sitúa en la recta (b) perpendicular a la recta trazada desde el centro de inversión (I)

               


















CASO 3: INVERSIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA QUE CONTIENE EL CENTRO DE INVERSIÓN

Es el opuesto al caso 2. De este modo, la inversa de la circunferencia (c) es una recta que no pasa por el centro de inversión (I) y que es perpendicular al diámetro de la circunferencia que contiene el centro de inversión.

           




















CASO 4: INVERSIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA QUE NO CONTIENE EL CENTRO DE INVERSIÓN

En esta situación la inversa de la circunferencia (c) es otra circunferencia (c') en la cual el centro de inversión coincide con el centro de homotecia

       
















Este caso corresponde con la inversión positiva. En el caso de la inversión negativa (I-) tendríamos que unir los extremos opuestos de la circunferencia y su invertida


¿COMO PODEMOS EMPLEAR LA INVERSIÓN EN LA GEOMETRÍA MÉTRICA?

Una de las propiedades más interesantes es que la inversión se trata de una transformación conforme, donde el ángulo que forman dos elementos es el mismo que el que forman los elementos transformados.

       












En siguientes post, analizaremos algunas aplicaciones de estas propiedades en la resolución de problemas de tangencias y ortogonalidades entre circunferencias, puntos y rectas, a través de los denominados "problemas de Apolonio"

Para terminar este primer acercamiento os propongo un sencillo ejercicio de inversión de figuras geométricas.