ANGULOS EN CIRCUNFERENCIAS

Ángulo central de una circunferencia

Dada una circunferencia, podemos definirlo como el haz de ángulos formado por dos radios de dicha circunferencia. Por ello, el vértice de unión se sitúa en el centro (O) de la circunferencia. El valor de cada ángulo es igual al arco de circunferencia que intersecta. En el ejemplo hemos trazado los radios a, b que definen el ángulo central (α) igual a la medida del arco AB

Ángulo inscrito

A diferencia del ángulo central, el ángulo inscrito está constituido por el haz de ángulos formados por dos lados que se corresponden con dos cuerdas de la circunferencia que intersectan en un punto (P) de dicha circunferencia. Por ello, el vértice de unión de estos lados se sitúa en el perímetro de la circunferencia. El valor de cada uno de estos ángulos corresponde a la mitad del arco de circunferencia que intersecta.

En el ejemplo hemos trazado las cuerdas c, d que definen el ángulo central (β), igual a la mitad de la medida del arco AB.

A partir de estas dos definiciones se puede decir que el ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco AB. Para demostrarlo procedemos a superponer ambos ángulos y a estudiar sus relaciones geométricas.

• Trazamos una recta que pasa por los vértices de los ángulos inscrito y central (P, O) y que corta a la circunferencia en el punto C.                                                              
• De esta forma el ángulo central (α) queda dividido en dos ángulos (α1, α2). Igualmente el ángulo inscrito (β) se divide en dos ángulos (β1, β2). Del triángulo resultante (OBC) establecemos relaciones entre sus ángulos, sabiendo que el triángulo (PBC) es rectángulo.

• Sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º. Por tanto, para el triángulo isósceles resultante (OBC) establecemos la siguiente relación:

        α1+(90º-β1) + (90º-β1) = 180º; α1=2β1

        Del mismo modo, para el triángulo isósceles OAC podemos establecer lo siguiente:

        α2+(90º-β2) + (90º-β2) = 180º; α2=2β2

       A partid de estas dos formulaciones obtenemos la relación entre los dos ángulos:

       α=α1+α2=2β
       β= 1/2 α

  

Ángulo semiinscrito

Dada una circunferencia y un punto A de la misma, podemos definir el ángulo semiinscrio como el haz de ángulos formados por la recta tangente a la circunferencia que pasa por el punto A, y las cuerdas de la circunferencia que pasen por ese punto. 

En el ejemplo se ha trazado a partir del punto A la tangente a la circunferencia y la cuerda que pasa por los puntos A,B. El valor del ángulo formado α es igual a la mitad de la medida del arco BA

EJERCICIOS DE DIBUJO TÉCNICO

EJERCICIO 2.

Se propone trazar una autovía que pasa entre varios núcleos urbanos (Pueblos A, B, C y D) cada uno señalado con sus coordenadas (x,y). Debido al ruido y a la contaminación que genera la autovía, los diferentes pueblos se han puesto de acuerdo para que la carretera pase por el medio, y nunca esté más cercana a uno que a otro.

La carretera se inicia en el punto medio entre el pueblo A y B. Termina en el punto medio de la distancia entre C y D. En caso de que haya que unir tramos de distinta orientación, éstos deben de estar unidos por tramos curvos de 1.2 Km de radio.

¿Cómo trazarás este recorrido?

 

SOLUCIÓN

 

GEOMETRÍA MÉTRICA: MEDIATRIZ SOBRE UN SEGMENTO

1. DEFINICIÓN

El conjunto de puntos que son equidistantes a los extremos de un segmento permite obtener un lugar geométrico enormemente importante, el cual se emplea en numerosos casos de geometría métrica. Este lugar geométrico lo llamamos mediatriz o simetral.

Todo este conjunto de puntos conforman la mediatriz y forman una recta que es perpendicual al segmeto base por su centro. Esta propiedad permite definir la recta mediatriz de un segmento, como la recta perpendicual a un segmento que pasa por su centro (C).

2. CONSTRUCCIÓN DE LA MEDIATRIZ

Cualquier punto de la mediatriz se sitúa a igual distancia de los puntos A y B. Al desplazarse a lo largo de la mediatriz la distancia a los puntos va variando pero siempre es la misma. Este concepto permite s construcción elemental para, dada la recta a, determinar dos puntos que equidisten de sus extremos. Para su construcción debemos seguir los pasos siguientes:

a) Con el compás, haciendo centro en el extremo A, se traza una circunferencia que tenga un radio mayor que la mitad de AB, en un cálculo, ya que precisamente estamos buscando ese punto medio exacto. Luego, haciendo centro en B, se traza otra circunferencia de igual radio que la primera.

Si ambas circunferencias no se cortan, significa que debemos aumental el radio de ambas

b) Cuando ambas se cortan, la recta que une a las dos intersecciones de las circunferencias (P1, P2) es la mediatriz del segmento AB. La intersección de la mediatriz con el segmento AB es el punto medio C.

Como resultado se obtiene una recta considerada como eje de simetría entre los puntos A y B.

3. SU IMPORTANCIA EN LA GEOMETRÍA

La mediatriz es uno de los elementos más empleados en geometría métrica para configurar lugares geométricos. Repasando algunos de los temas que se han dado en la clase:

a) Determinar una circunferencia que pasa por 3 puntos: esto se puede resolver sabiendo que la mediatriz de una cuerda de cualquier circunferencia pasa necesariamente por el centro de la misma.

b)  Construcción de arcos capaces: basándonos en lo descrito en el apartado a, para la construcción del arco se busca la intersección del lugar geométrico del centro de la circunferencia (mediatriz de la cuerda) con el ángulo complementario que forman los lados del tercer vértice.

c)  Propiedades de triángulos: en relación directa con el arco capaz, podemos decir que en todo triángulo ABC las mediatrices de sus tres lados concurren en un mismo punto, llamado circuncentro (O) del triángulo. Dicho punto equidista de los vértices del triángulo. La circunferencia de centro O y de radio OA, pasa por los otros dos vértices del triángulo. Se dice que dicha circunferencia es circunscrita al triángulo y que el triángulo está inscrito en la circunferencia.

Triángulo rectángulo

         Triángulo obtusángulo

         Triángulo acutángulo

En el caso de triángulos isósceles, el ortocentro, baricentro, incentro y el circuncentro, se encuentran alineados en la mediatriz de la base.

Como hemos visto, en este tipo de triángulos, a través de la mediatriz podemos calcular el punto circuncentro. Pero también podemos calcular este punto a través de la altura del triángulo. Para ello podemos emplear la construcción del arco capaz y determinar su ángulo central, el cual tendrá su vertice superior en el circuncentro del triángulo.

De esta forma podemos decir que el vértice del ángulo central del triángulo isósceles coincide con el circuncentro de dicho triángulo.

Con el transcurso de la asignatura iremos viendo muchos otros ejemplos de la implicancia de la mediatriz en las relaciones geométricas.

Os invito desde aquí a que vayamos coleccionando todos los casos que nos vayan apareciendo.

 

DISEÑOS ARQUITECTÓNICOS SINGULARES

En el mundo del diseño arquitectónico la geometría es la principal herramienta en la concepción de los edificios. Os presento un recorrido por algunas de las geometrías más atractivas y provocadoras.

Enjoy!

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS SEMEJANTES. RESOLUCIÓN DE EJERCICIO 1

¡Hola de nuevo!

Después de haber pasado una semana desde que os mandé el ejercicio, os adjunto el resultado con la construcción final de los dos triángulos rectángulos que se os pedía. Como se puede observar son triángulos semejantes (misma forma).

Prueba a arrastrar el punto B y verás cómo los triángulos se mantienen en la misma proporción

PARA PENSAR...

Como podrás observar si modificas la posición del punto B a lo largo del eje X (aumentando o disminuyendo la distancia del valor de partida de 7cm) todos los valores y longitudes y áreas se modifican,  excepto uno:

¿Cuál es el dato que permanece estático? ¿Por qué?

EJERCICIOS DE DIBUJO TÉCNICO

EJERCICIO 1.

Con objeto de experimentar algunas de los teoremas más relevantes en Geometría Métrica os propongo el siguiente ejercicio:

Construir un triángulo sabiendo que dos de sus vértices son los puntos A y B, y es semejante en posición de Thales al triángulo rectángulo con un primer vértice en A, un segundo vértice situado en la recta que une los puntos A y B, y un tercer vértice situado a 5 cm del punto A y a 7 cm del punto B respectivamente.

SOLUCIÓN

PUBLICACIONES ESPECIALIZADAS EN EXPRESIÓN GRÁFICA COMPUTACIONAL

Como ya es conocido, cada vez son mas numerosas las revistas internacionales especializadas en la tecnología digital aplicada al diseño gráfico. En este post se expone a continuación nuestro TOP 10:

1. Computer Aided Geometric Design (1.639 JCR)

http://www.journals.elsevier.com/computer-aided-geometric-design/

La revista está dirigida a investigadores, académicos y desarrolladores de software que se ocupan de los métodos matemáticos y computacionales para la descripción de objetos geométricos en CAD/CAM.

Los objetos primarios de interés son curvas, superficies y volúmenes tales como estrías (NURBS), mallas, superficies de subdivisión, así como algoritmos para generar, analizar y manipularlos. 

  2. Computer-Aided Design (1.801 JCR)

   

http://www.journals.elsevier.com/computer-aided-design/

Es una revista internacional líder que ofrece la academia y la industria con papeles clave en la investigación y los avances en la aplicación de las computadoras para diseñar.

3. Computacional Geometry (0.480 JCR)

http://www.journals.elsevier.com/computational-geometry/

Es un foro para la investigación en aspectos teóricos y aplicados de la geometría computacional. La revista publica la investigación fundamental en todos los ámbitos de la asignatura, así como la difusión de información sobre las aplicaciones, técnicas, y el uso de la geometría computacional.

4. Computers & Mathematics with Applications (1.697 JCR)

http://www.journals.elsevier.com/computers-and-mathematics-with-applications/

Proporciona un medio de intercambio para los que trabajan en los campos que contribuyen a la construcción de simulaciones de éxito para la ciencia y la ingeniería utilizando ecuaciones diferenciales parciales (PDE).

5. Computers & Graphics (0.907 JCR)

http://www.journals.elsevier.com/computers-and-graphics/

Proporciona un medio para comunicar la información relativa a las aplicaciones interactivas CG. La revista se centra en gráficos por ordenador interactivos, visualización y nuevas modalidades de entrada, incluyendo los entornos virtuales, y, dentro de este ámbito, en los modelos gráficos, estructuras de datos, lenguajes, algoritmos de manipulación de imagen y software relacionado.

6. Graphical Models (1.049 JCR)

http://www.journals.elsevier.com/graphical-models/

 Se centra en la creación, transformación geométrica, animación y visualización de      modelos gráficos y en sus aplicaciones en la ingeniería, la ciencia, la cultura y el  entretenimiento. 

7.  Journal of Computational and Applied Mathematics (1.266 JCR)

http://www.journals.elsevier.com/journal-of-computational-and-applied-mathematics/

El principal interés de la revista está en los documentos que describen y analizan nuevas técnicas computacionales para la solución de problemas científicos o de ingeniería. También el mejor análisis, incluida la eficacia y aplicabilidad, de métodos y algoritmos existentes es de importancia. 

8. Image and Vision Computing (1.587 JCR)

http://www.journals.elsevier.com/image-and-vision-computing/

Tiene como principal objetivo la prestación de un medio eficaz de intercambio de los resultados de alta calidad teórica y la investigación fundamental para todos los aspectos de la interpretación de imágenes y visión por ordenador aplicada.

9. Journal of Visual Languages and Computing (0.893 JCR)

http://www.journals.elsevier.com/journal-of-visual-languages-and-computing/

Es un foro para investigadores, profesionales y desarrolladores para intercambiar ideas y resultados para el avance de los lenguajes visuales y su implicación con el arte de la computación. 

10. Simulation Modelling Practice and Theory (0.893 JCR)

http://www.journals.elsevier.com/simulation-modelling-practice-and-theory/

La revista pretende ser una referencia y una herramienta de gran alcance para todos aquellos profesionales en activo y / o interesados en los métodos y aplicaciones de la simulación